Blog do Professor Márcio

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sábado, 8 de janeiro de 2011

A FÓRMULA DE BASKHARA - HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Biólogos pensam que são químicos,
Químicos pensam que são físicos,
Físicos pensam que são deuses,
Deus pensa que é um matemático.
(Anônimo)


1. INTRODUÇÃO

O objetivo do presente trabalho é responder, através da História da Matemática, se a Fórmula de Bhaskara é ou não de Bhaskara.

A História da Matemática é um tema empolgante da História da Ciência e da História da Humanidade. Não existe quem, nos dias de hoje, não fique perplexo diante de pirâmides colossais e cálculos engenhosos realizados na Antiguidade, em cujas bases está a Matemática, a mesma ciência que hoje nos permite os avanços espetaculares nos campos da Física, Astronáutica, Astronomia, Medicina, Computação e toda a ciência humana.

O conhecimento matemático desenvolveu-se, nos primórdios da civilização, como resposta às necessidades práticas da sociedade humana e, na medida em que essa sociedade foi se tornando complexa, o cálculo matemático também avançou, mas com passos muito mais rápidos do que para a simples resposta a problemas práticos. Acompanhar esses passos permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura, analisar os aspectos humanos do desenvolvimento da Matemática e conhecer os gênios fantásticos que criaram essas idéias.

Outro aspecto importante é que, através da história, podem-se estabelecer relações entre a matemática, a filosofia, a astronomia, a geografia e outros ramos do saber, assim também com as variadas expressões da cultura.

A contribuição significativa de vários povos, desde o período de 3000 a.C. até o presente, como os egípcios, babilônicos, gregos, chineses, hindus e árabes, foram fundamentais ao aprimoramento e entendimento da Matemática. Ao longo do tempo, a matemática evoluiu, com os homens pensando sobre possibilidades, fazendo tentativas, encontrando soluções e procurando formas de representar seus pensamentos numa linguagem específica.

Por fim, é importante salientar a importância da História da Matemática como instrumento para o ensino e a aprendizagem desta ciência, pois os desafios matemáticos são desafios da própria humanidade, em sua luta de sobrevivência e ascensão intelectual.

Nos sentidos acima expostos, a origem da Fórmula de Bhaskara é um tema relevante da História, não apenas da Matemática, mas da Ciência e da sociedade humana. Através dela o autor deste trabalho tomou conhecimento de uma pequena parte da história de uma das culturas mais ricas da Terra, a cultura hindu.

2. A ÍNDIA

A Índia atual é um país que ocupa 2.4% do território do planeta e contém 16.8% da população mundial, cerca de 1 bilhão e 200 milhões de habitantes. É um país em acelerado processo de crescimento econômico e intensas mudanças sociais, mas sua história é tão antiga quanto a mais antiga das civilizações. De grande diversidade cultural, a Índia tem no seu povo o retrato de uma sociedade rica em costumes, mas também em confrontos étnicos e religiosos. A origem do povo indiano através das invasões de outros povos deixa claro que a grande diversidade cultural é resultado de conflitos, mas também originou uma riqueza cultural distinta e bela, inigualável.

Existem registros arqueológicos indicando que o vale do rio Indo foi habitado por povos camponeses conhecidos como harapas, de pele escura. Esses povos tinham uma escrita e suas manifestações literárias são tidas por alguns especialistas como as mais antigas do mundo, remontando a 2.500 a.C.

Aproximadamente em 1.500 a.C. os povos nativos foram atacados e escravizados por tribos arianas, de origem indo-européia, de pele mais clara. Daí originou-se o que hoje é conhecido como Civilização Hindu. Os arianos impuseram uma nova religião – o hinduísmo -, o sistema de castas e a escrita sânscrita, cujo texto mais conhecido são os Vedas (WIKIPEDIA, 2009).

A partir de 200 a.C. a região foi muito conturbada por invasões e conflitos internos, sofrendo divisões e unificações sucessivas, até que em 320 da Era Cristã a Índia foi reunificada, dando origem ao império Gupta, que se manteve por um século. Esse período é considerado a era clássica da Índia.

A invasão árabe conquistou partes da índia ocidental nos séculos VIII, IX e X. Em 1206 Kutb ud-Din-Aibak fundou o sultanato muçulmano de Dehli. O contato direto entre a Europa e a Civilização Hindu ocorreu na chegada dos portugueses ao território da atual Índia com a expedição capitaneada por Vasco da Gama, em 1498. Em 1526, Babur instala o império Mogul (muçulmano), que terminou em 1707.

O início da colonização inglesa da Índia se deu em 1612, com a instalação de entrepostos comerciais no território hindu, em especial nos litorais leste e oeste daquele país. De 1746 a 1763 ocorreu uma guerra entre forças militares inglesas e francesas pelo domínio da atual Índia. Pelo Tratado de Paris(1763) a Grã-Bretanha assegurou a posse da maior parte do território do subcontinente indiano, passando a exercer uma ferrenha tirania sobre o povo hindu. O apogeu do domínio inglês na Índia prolongou-se de 1850 a 1930.

Na luta contra o domínio inglês destacou-se Mahatma Ghandi (imagem ao lado), líder espiritual de enorme prestígio, defensor do princípio de não-agressão e da
desobediência civil como meio de luta política.
Em 15 de agosto de 1947, a Índia tornou-se independente, mas Gandhi não a celebrou, entristecido com a sua divisão de seu território em dois países: a parte de maioria hinduísta (Índia) e a parte de maioria muçulmana (Paquistão). Poucos meses depois, em 30 de janeiro de 1948, Gandhi foi assassinado por um hindu radical.

2.1. Sistema de castas.

O vale do rio Indo foi ocupado por povos conhecidos como harapas, que desenvolveram a agricultura e construíram várias cidades. Em 1500 a.C., o país foi ocupado pelos invasores arianos que impuseram o sistema de castas, o hinduísmo e a escrita sânscrita. Com o tempo, as castas se subdividiram, mas originalmente eram apenas quatro: os brâmanes (religiosos e nobres); os xátrias (guerreiros); os vaixás (comerciantes) e os sudras (camponeses, artesãos e operários). Segregados dessa estrutura social encontravam-se os párias, sem casta (categorizados abaixo dos escravos), considerados intocáveis, até pelos escravos, para não serem "amaldiçoados"; hoje chamados de haridchans, haryans ou "dalits" (WIKIPEDIA, 2009).

A Constituição Indiana, em vigor desde a independência da Índia em 1947, rejeita a discriminação com base na casta, mas eliminá-la é um processo lento. Barreiras de casta deixaram de existir nas grandes cidades, mas persistem principalmente na zona rural do país.

2.2. Religião

O hinduísmo, religião de mais de 80% da população indiana, foi imposto pelos invasores arianos. Ele se baseia na ajuda ao indivíduo a experimentar a divindade que está em todas as partes, afirma a existência de um ser supremo (Brahman) cujas várias facetas são representadas por uma trindade constituída pelos deuses: Brahma, Vishnu e Shiva. Os códigos sagrados da religião estão fundamentados nos Vedas (palavra em sânscrito que significa conhecimento) que são um conjunto de textos sagrados, consistindo em escrituras que incluem canções, hinos, ritos, dizeres e ensinamentos.

O Islamismo é uma religião monoteísta adotada por 13,4% da população indiana. Como sagradas escrituras, os muçulmanos têm o Corão, que crêem ser a palavra de Deus revelada ao profeta Maomé. São usados também o Torá, que inclui os Mandamentos de Moisés, os Salmos de Davi e o Evangelho cristão.

Por volta do século VIII iniciou-se a invasão muçulmana ao norte da Índia e após três séculos de batalha sua fixação foi irreversível. Deflagrou-se, nessa época, e perpetua até os dias de hoje, um conflito entre os muçulmanos e os hindus, que são maioria na Índia. O islamismo, por possuir um apelo igualitário ignorando o sistema de castas, atraiu partes da população indiana marginalizados pelas castas ou descontentes com o hinduismo. Outro ponto de discórdia entre essas religiões é o caráter monoteísta do islamismo que contrasta diretamente com o politeísmo hindu.

2.3. Arte

Apesar das semelhanças com a arte ocidental, a arte indiana se manifesta, em grande parte, a serviço da religião.
A arquitetura indiana é influenciada pelas várias culturas e religiões que convivem no seu território e reflete várias fases de desenvolvimento, tendo absorvido, em cada uma delas, elementos de suas influências. Em grandes traços, pode-se destacar a influencia do budismo, com as stupas (pequenos templos para guardar as relíquias dedicadas a Buda) e os chaityas (templos rupestres). A escultura foi marcada por obras em baixo relevo comuns nas colunas com formas de animais que adornavam os templos (ÍNDIA, 2009).

A partir do século V, a ascensão do hinduismo e do jainismo adicionou à arquitetura indiana as sanefas (tiras largas de tecidos que se estendem sobre a parte superior de uma cortina), cujos exemplos mais importantes estão em Bihar, em Abu Rajasthan e em Gujarat.

Com a chegada dos muçulmanos, no Séc. XIII, a arquitetura indiana teve adicionados elementos característicos da mesma, presentes em templos como o famoso mausoléu de Gol Gundadh (1660), em Bijapur. A influência muçulmana foi responsável por uma mudança da escultura indiana para as formas lineares, para o contorno pronunciado em vez do volume transformando-a num objeto de decoração. Essa influência trouxe também uma mudança da escultura budista, que passou a retratar figuras com muitos detalhes caracterizadas por múltiplos braços que se viam presentes em templos hindus e jain (INDIA, 2009).


A influência da dinastia mogul veio nos séculos XVI a XVIII e é caracterizada pelo uso de materiais luxuosos como o mármore, tendo como seu maior exemplo o famoso mausoléu Taj Mahal (imagem acima). Com a dominação inglesa, mais um estilo foi adicionado à já rica arquitetura indiana. Hoje seus prédios variam entre a arquitetura clássica indiana e a arquitetura européia.

Por estar no caminho entre o oriente e o ocidente a pintura indiana, diferentemente de outras pinturas orientais, traz elementos mais familiares à cultura ocidental.

2.4. Letras

A literarura da Índia antiga é rica e variada e, segundo alguns especialistas, a mais antiga do mundo (2.500 a.C). Foi na Índia que surgiram as primeiras manifestações literárias em sânscrito. As primeiras obras foram os Vedas, de cunho religioso-filosófico, que é a reunião dos textos sagrados do hinduísmo, que se agrupam em três blocos: as Samhita, os Brahmana e os Sutra. Após os Vedas foram escritos os famosos poemas épicos Mahabharata e Ramaiana, que relatam os feitos dos heróis e compreendem numerosas lendas antigas (INDIA, 2009).

As fábulas indianas – especialmente as coleções Panchatantra e Hitopadeza que retratam histórias de animais – foram disseminadas ao longo dos séculos por toda a Europa, tornando-se, segundo alguns historiadores, a base para uma série de fábulas conhecidas do mundo ocidental, como as Fábulas de Ésopo e As Mil e Uma Noites. Muitas obras características da rica literatura indiana continuaram influenciando a literatura medieval de diversos países da Europa (ÍNDIA, 2009).

3. A MATEMÁTICA NA ÍNDIA

A matemática hindu tem grande influência no mundo inteiro: os universalmente conhecidos algarismos arábicos são de origem hindu. Os hindus conheciam a extração da raiz quadrada e cúbica e tinham noções das leis fundamentais da trigonometria. Seus conhecimentos matemáticos, tão essenciais para várias ciências, foram divulgados na Europa pelos árabes (EVES, 2002).

São do 3º milénio a.C. os primeiros vestígios matemáticos da civilização que se desenvolveu no vale do rio Indo. Descobertas recentes parecem indicar que os harapas, povos que habitavam aquela região, adotaram um sistema decimal de pesos e medidas (BROWN.EDU, 2009).

Os hindus foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à álgebra. Muitos dos problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução preferido era o de inversão no qual se trabalha para trás, a partir dos dados.

EDUCACIONAL (2009) apresenta um exemplo de solução por inversão. O problema faz parte do texto Lilavati de Bhaskara: “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?” Pelo método de inversão começamos com o número 2 e operamos para trás.

Assim,
[(2)(10) – 8]2 + 52 = 196 , √ 196 = 14, (14) (3/2)(7)(4/7) ÷ 3 = 28
é a resposta. Observe-se que onde a instrução do problema manda que se divida por 10, multiplica-se por 10; onde a instrução é somar 8, subtrai-se 8; onde manda que se extraia a raiz quadrada, eleva-se ao quadrado, e assim por diante. É a substituição de cada operação por sua inversa que responde pelo nome inversão.

Os hindus sincoparam sua álgebra, aceitavam os números negativos e irracionais, somavam progressões aritméticas e geométricas, resolviam problemas comerciais envolvendo juros simples e compostos e sabiam que uma equação quadrática tem duas raízes reais. Revelaram notáveis habilidades em análise indeterminada, sendo talvez os primeiros a descobrir métodos gerais neste ramo.

Outra contribuição importante dos hindus para a matemática é a função do seno na trigonometria. A trigonometria hindu era um instrumento útil e preciso para a astronomia (BROWN.EDU, 2009).

A idéia do infinito é encontrada nos próprios Vedas. Ele foi corretamente compreendido como aquilo que permanece inalterado se adicionarmos ou subtrairmos dele o próprio infinito (SANTOS, 2009).

Segundo a crença hindu, o universo é destruído no final de cada kalpa, que é a vida do deus criador Brahma. Entre a destruição do universo e sua recriação, no final de cada ciclo, o deus Vishnu repousa nos anéis de Ananta, a grande serpente do infinito, enquanto espera o universo se auto-recriar.

Os filósofos indianos sempre foram fascinados pela matemática. Foram os matemáticos indianos que inventaram o zero, uma absoluta necessidade para que pudesse ser desenvolvida uma aritmética tratável. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa (EVES, 2002).

De acordo com Educar (2009), estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para o persa, o célebre matemático al-Khwarizmi, a serviço do Califa de Bagdá, tomou contato com a notação do zero, representado pelos hindus como um ovo de ganso. Então, escreveu um livro chamado “Sobre a arte hindu de calcular”, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khwarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khwarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Isto se refletiu diretamente no desenvolvimento da ciência quantitativa.

A nova numeração, geralmente chamada de hindu-arábica ou indo-arábica, é uma nova combinação dos três princípios básicos, todos de origem antiga: (1) base decimal; (2) notação posicional e (3) forma cifrada para cada um dos dez numerais (OLIVEIRA e MARTINS, 2009).

Até chegar aos números que hoje são utilizados universalmente, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. A figura abaixo apresenta alguns passos da evolução dos algarismos, desde os usados pelos hindus da época de Brahmagupta, passando pelos algarismos usados pelos povos árabes e chegando aos algarismos usados no mundo ocidental.

Lendo de baixo para cima (SILVEIRA, 2009):
• algarismos Devanagari da época de Brahmagupta
• algarismos Devanagari primitivo, anterior a Brahmagupta
• algarismos árabes de c. 800 dC
• algarismos árabes atuais
• letras árabes eventualmente usadas como algarismos
• algarismos indo-arábicos medievais
• indo-arábico atual

Por volta do século III a.C., o matemático indiano Pingala inventou o sistema de numeração binario. Usado atualmente no processamento de todos os computadores, o sistema estabelece que seqüências de uns e zeros podem representar qualquer número. A palavra sünya (pronuncia-se shunia e significa vazio, em sânscrito) foi usada para indicar casa nula quando da escritura de numerais no livro Chandah-sutra (200 a.C) de Pingala. Mais tarde, as casas nulas passaram a ser indicadas por um ponto, o qual era chamado de pujyam (BRASIL. 2009).

O sistema de números binários foi descoberto no ocidente pelo matemático alemão Leibnitz em 1678, quase 2000 anos depois de Pingala. A estrutura deste sistema numérico pode ter ajudado na invenção da forma gráfica que distingue o zero, feita pelos indianos possivelmente entre os anos 50 a.C a 50 d.C. Sem o símbolo do zero a matemática teria tido grandes dificuldades no seu desenvolvimento (BERGO, 2008).

4. BHASKARA E A “FÓRMULA DE BHASKARA”

Uma das grandes influências da matemática indiana no ocidente é através do matemático Bhaskara de Acharya (ou Bhaskara II, ou Báscara, ou Bhascar), nascido em 1114, cujo nome evoca a solução de equações algébricas do segundo grau, e que foi também um importante astrônomo. Seu tratado de álgebra foi base para a álgebra da Europa alguns séculos depois.

Bhaskara nasceu em uma tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora, da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Como matemático, Bhaskara preencheu as lacunas do trabalho de Brahmagupta. É dele a primeira resposta plausível para a divisão por zero. Em seu trabalho “Vija-Ganita” ele afirma que tal quociente é infinito (SOMATEMÁTICA. 2009).

Bhaskara escreveu o tratado Siddhanta Siromani, aos 36 anos, em 1150. O seu manuscrito está dividido em quarto partes – Lilavati (A Bela) sobre aritmética; Bijaganita sobre álgebra, Goladhyaya sobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste, e Grahaganita sobre a matemática dos planetas.

Sua obra foi usada em toda a Índia, tendo substituído a maior parte dos textos que eram utilizados até então, como o do astrônomo indiano Lalla (720-790), mas só ultrapassou as fronteiras da Índia no século XVI, quando foi traduzido para o persa por Faizi (1587). Foi este tradutor que introduziu a história de que Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. De acordo com uma dessas histórias, citada em Matematica-na-veia (2009), Bhaskara (que também era astrólogo) tinha previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exata tinha construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água, numa vasilha cheia de água. Quando chegasse a hora exata do casamento o copo iria se afundar. Entretanto, Lilavati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a vasilha e uma pérola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento passou sem que o copo se afundasse. Lilavati nunca se casou. Para consolar a sua filha, Bhaskara prometeu escrever um livro de matemática e homenageá-la dando-lhe o seu nome.

Embora fantasiosa, a história tornou-se lenda contada de maneiras diferentes por vários autores, e serviu para tornar mais famoso o admirável matemático.
Lilavati, escrita em 278 versos, representa a culminação de contribuições hindus anteriores a ela. Apresenta tópicos sobre equações lineares e quadráticas, determinadas e indeterminadas, mensuração, progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas, entre outras.

Mas, e a fórmula de Bhaskara?

A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau). Na literatura internacional não se dá o nome de Bhaskara para esta fórmula; aparentemente, isto se dá apenas no Brasil.

Como precedentes da fórmula de Bhaskara, as referências mais antigas sobre a resolução de problemas do 2º grau foram encontradas em textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos, em tábuas cuneiformes. Nesses textos, o que se tinha era uma receita, escrita em prosa, sem uso de símbolos matemáticos, que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos, quase sempre ligados a relações geométricas.

Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas "receitas" , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais "receitas".

Na Grécia, uma equação de segundo grau era resolvida por meio de construções geométricas - método geométrico utilizado por Euclides (Séc. III a.C.) - para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No princípio do século IX, o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009).

Al-Khwarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro retângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura acima, "completava" esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um "quadrado perfeito" de lado x + p/2.


Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatro quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é, x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
Chama-se de regra uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema. A partir de Aryabhata 500 d.C., e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau.
Para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:


Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.”

Bhaskara conhecia a regra citada acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento, pelo menos, do matemático Sridara, que viveu mais de 100 anos antes de Bhaskara (EVES, 2002; BROWN.EDU, 2009; MALHATLANTICA, 2009; SOMATEMATICA, 2009).

A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (ou de segundo grau) tal como se conhece hoje, é:
.

É importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um dado grau (MATEMATICA-NA-VEIA, 2009).

Até o fim do Séc. XVI não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 (SOMATEMÁTICA, 2009). Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.

5. CONCLUSÃO
Qualquer estudante sabe o que é a fórmula de Bhaskara, mas poucos sabem que esta fórmula para resolução das equações quadráticas nada tem a ver com o famoso matemático. Bhaskara, assim como todos os matemáticos até então, não sabia o que era uma fórmula matemática. Isto só passou a existir cerca 400 anos depois da morte dele. Até o final do século XVI não se representavam através de letras os coeficientes de uma equação. Na época de Bhaskara, as equações eram resolvidas com regras e não com fórmulas.
É evidente, e todos concordam, que Bhaskara conhecia as regras para resolver equações quadráticas, mas elas já eram conhecidas do matemático Sridara, mais de 100 anos antes.

REFERÊNCIAS

BERGO, Lívia. Sistema Brasileiro de Televisão Digital: o princípio e o fim. Intercom – Sociedade Brasileira de Estudos Interdisciplinares da Comunicação. XIII Congresso de Ciências da Comunicação na Região Sudeste – São Paulo – 07 a 10 de maio de 2008.
BRASIL. Ministério das Ciências e da Tecnologia. Observatório Nacional. A Cosmologia na Ásia. Obtido em: http://www.on.br/site_edu_dist_2008/site/conteudo/modulo1/1-cosmologia-antiga/4-cosmologia-india.html. Acesso em: 1/5/2009.
BROWN.EDU. História da Matemática na Índia. Obtido em: http://www.brown.edu/Departments/History_Mathematics/. Acesso em 4/5/2009.
EDUCACIONAL. Evolução histórica da álgebra. Obtido em: http://www.educacional.com.br/upload/blogSite/1960/1960143/5124/Evolucao%20historica%20da%20algebra%20%20%20sexta%20serie.doc. Acesso em: 27/4/2009.
EDUCAR. História da Matemática. Obtido em: http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01.htm. Acesso em: 27/4/2009.
EVES, H. Introdução à História da Matemática, 3ª Edição, Editora Unicamp, 2002.
http://ecalculo.if.usp.br/historia/originais/Bhaskara.doc
ÍNDIA. Consulado da Índia em Belo Horizonte. Índia. Obtido em: http://www.indiaconsulatemg.org/india_subpagina.php?id=6. Acesso em: 4/5/2009.
MATEMATICA-NA-VEIA. A verdadeira história da fórmula de Bhaskara. Obtido em: http://www.matematica-na-veia.blogspot.com. Acesso em: 27/4/2009.
MALHATLANTICA. Bhaskara I. Obtido em: http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/BhaskaraI.htm. Acesso em: 27/4/2009.
OLIVEIRA, Juliana Gaiba e MARTINS, Ricardo Miranda. História da Matemática. Obtido em: http://www.csd.ime.unicamp.br/~ra041031/Trabalhos_files/histmat.pdf. Acesso em 29/4/2009.
SANTOS, Túlio Jorge. História da astronomia e ciências afins. Obtido em: http://www.observatorio.ufmg.br/. Acesso em: 1/5/2009.
SILVEIRA, J.F. Porto da. Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo. Obtido em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html. Acesso em: 1/5/2009.
SOMATEMÁTICA. História da Matemática. Obtido em: http://www.somatematica.com.br/historia/oriental4.php.
WIKIPEDIA. Sistema de castas. Obtido em: pt.wikipedia.org/wiki/Castas. Acesso em: 4/5/2009.

Palavras-chave: matemática; história da matemática; fórmula de Bhaskara; indiaHinduísmoSociedadeSociologia

9 comentários:

Patricia disse...

Muito boa a pesquisa...

Prof. Márcio Santos disse...

Agradeço-lhe o comentário, Patrícia. Foi um bom estímulo.
Abraço.
Márcio

Rafael S. Santos disse...

Gostei do seu blog, espero que continue e traga mais algumas novidades. Olha esse é meu blog www.fichariodematematica.blogspot.com assim como você quero que deixe um comentário e sugestões serão muito bem vindas. o blog está no início mas espero colaboração.

Prof. Márcio Santos disse...

Prezado Rafael Santos: agradeço muitíssimo o seu comentário. Olha, logo estarei visualizando e comentando o seu blog.
Grande abraço.
Márcio

Matemáticos disse...

Li e achei muito interessante, estou fazendo um TCC sobre Bhaskara

antonio sidiney sidiney disse...

É bom saber que tem pessoas que se preocupam em esclarecer histórias, da Matemática e principalmente fazer com que outras pessoas compartilhe desse conhecimento. parabens, e te desejo muito susesso.
Antonio Sidiney.
Graduando em Licenciatura em Matemática.

Márcio Santos, Geólogo disse...

Grato pelo comenário, Antonio Sidney. Sucesso para você também.
Márcio

Anônimo disse...

eu adoroo matematica!
e esse site e bom demais!

Anônimo disse...

eu adoroo matematica!
e esse site e bom demais!